Bài viết này giúp bạn cách chứng minh đường trung trực. Không chỉ một cách mà đến 5 cách.
Trong toán học, đường trung trực được tìm hiểu trong chương trình trung học, xuất hiện trong rất nhiều các bài tập toán. Việc nắm lý thuyết và cách giải các dạng bài tập đường trung trực cực kỳ quan trọng.
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực của đoạn thẳng có thể hiểu đơn giản là đường vuông góc với một đoạn thẳng ngay tại trung điểm đoạn thẳng đó.
Đường trung trực có những tính chất nào?
Tính chất đường trung trực của một tam giác, hoặc tam giác vuông:
- Ở tam giác cân, đường trung trực tại cạnh đáy cũng tương ứng với đường trung trực tuyến.
- Trong 1 tam giác, khi 3 đường trung trực cùng đi qua một điểm thì điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác.
- Trường hợp với tam giác vuông thì trung điểm cạnh huyền cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Cách chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng
Để chứng minh đường trung trực chúng ta có 5 phương pháp:
- Phương pháp 1: Chúng ta phải chứng minh rằng d ⊥ AB tại ngay trung điểm của AB
- Phương pháp 2: Chứng minh rằng 2 điểm trên trên d cách đều 2 điểm A và B.
- Phương pháp 3: Dùng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
- Phương pháp 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục.
- Phương pháp 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.
Các dạng bài tập chứng minh đường trung trực
Chứng minh đường trung trực có nhiều yêu cầu khác nhau nhưng về cơ bản sẽ gồm có 5 dạng cơ bản. Học sinh cần ghi nhớ các dạng và cách giải nhằm đưa ra cách giải quyết cho một bài toán liên quan đến đường trung trực nhanh chóng nhất.
Dạng 1: Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Cách giải: Áp dụng định lý khi 1 điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ sẽ cách đều 2 đầu đoạn thẳng.
Dạng 2: Chứng minh d là đường trung trực của A B (cơ bản)
Chứng minh d là đường trung trực của A B dạng toán cơ bản và thường gặp trong nhiều bài kiểm tra.
Cách giải: Hãy chứng minh rằng d có các điểm mà các điểm này cách đều A và B.
Dạng 3: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Cách giải: áp dụng tính chất giao điểm đường trung trực của tam giác.
Dạng 4: Đường trung trực trong tam giác cân.
Cách giải: Chúng ta phải hiểu rằng đối với tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy cũng là đường trung tuyến tương ứng với cạnh đấy đó.
Dạng 5: tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách giải: áp dụng định lý bất đẳng thức trong tam giác.
Bài tập chứng minh đường trung trực
Bài 1: Biết AM là trung tuyến của tam giác ABC, với AM=9cm, trọng tâm G. Hãy tìm độ dài đoạn thẳng AG?
Giải:
AM là trung tuyến của tam giác ABC với G trọng tâm nên:
=> Độ dài đoạn thẳng AG = 6cm.
Bài 2: Trong tam giác vuông ABC với cạnh góc vuông AB = 3cm, cạnh AC = 4cm. Hãy đi tìm khoảng cách từ đỉnh A đến trọng tâm G.
Giải:
M là trung điểm của đoạn thẳng BC
=> AM sẽ là trung tuyến ứng với cạnh huyền. Bằng 1/2 cạnh huyền nên AM=1/2 BC.
Do G là trọng tâm nên AG = 2/3 AM = 2/3 x 2.5 =1.7 cm.
Suy ra độ dài đoạn thẳng AG = 1.7 cm.
Xem thêm: Tính bằng hai cách lớp 4
Trên đây chúng ta vừa tìm hiểu về thế nào là đường trung trực, cách tính chất, cách chứng minh đường trung trực của tam giác và các dạng toán liên quan đến đường trung trực thường gặp nhất.